대칭 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
5. 한국의 관점
참조

1. 개요

대칭 대수는 가환환 R과 R-가군 M이 주어졌을 때 M으로 생성되는 가환 자연수 등급 대수이다. 이는 가환 결합 대수의 범주에서 망각 함자의 왼쪽 수반 함자를 통해 정의되며, 벡터 공간 위의 대칭 대수는 자유 대상이다. 대칭 대수는 텐서 대수의 몫으로 구성되며, 보편 성질, 보편 포락 대수, 다항식을 통해 정의될 수 있다. 등급 대수, 직합 분해, 가군론적 성질, 환론적 성질을 가지며, 대칭 텐서와 밀접한 관련이 있다. 값매김, 아핀 공간의 대칭 대수, 외대수와의 유사성, 호프 대수 및 보편 포락 대수와 같은 응용 분야가 있다.

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대칭 대수
정의
설명	벡터 공간을 포함하는 가장 "작은" 가환 대수
형식적 정의
설명	벡터 공간 V의 대칭 대수 S(V)는 다음과 같은 보편 성질을 만족하는 가환 K-대수이다. 임의의 선형 변환 f : V → A에서 A는 가환 K-대수이며, 유일한 대수 준동형 사상 g : S(V) → A가 존재하여 1=f = g ∘ i를 만족한다. 여기서 i : V → S(V)는 포함 사상이다.
구성
설명	V가 기저 B를 갖는다면, S(V)는 다항식환 K[B]와 동형이다. V의 텐서 대수 T(V)를 아이디얼 <x ⊗ y − y ⊗ x \| x, y ∈ V>로 나눈 몫대수와 동형이다.

2. 정의

가환환 $R$ 와 $R$ -가군 $M$ 이 주어졌을 때, $M$ 으로 생성된 '''대칭 대수''' $\operatorname{Sym}(M;R)$ 는 $R$ 위의 가환 등급 대수이다. 이는 다음과 같이 정의될 수 있다.

텐서 대수의 몫으로 구성
보편 포락 대수의 특수한 경우
유한 차원 자유 가군 위의 대칭 대수는 다항식환으로 정의

대칭 대수 ''S''(''V'')는 ''V''의 기저 벡터를 부정원(不定元)으로 하는 ''K'' 위의 다항식 환과 동일하다.

2. 1. 보편 성질을 통한 정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

가환환 $R$
$R$ -가군 $M$

R

위의 가환 결합 대수들의 대수 구조 다양체 범주

\operatorname{CAlg}_R

와

R

위의 가군들의 대수 구조 다양체 범주

\operatorname{Mod}_R

를 생각하자. 이 경우, 곱셈을 잊는 망각 함자

:

G\colon \operatorname{CAlg}_R\to\operatorname{Mod}_R

가 존재한다. 이는 대수 구조 다양체의 성질에 따라 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

:

\operatorname{Sym}\colon \operatorname{Mod}_R\to\operatorname{CAlg}_R

:

\operatorname{Sym}\dashv G

이 경우, 함자

\operatorname{Sym}

을 '''대칭 대수 함자'''라고 하며, 임의의

R

-가군

M\in\operatorname{Mod}_R

에 대하여 그 상

\operatorname{Sym}(M)

을

M

으로부터 생성되는 '''대칭 대수'''라고 한다.

임의의

M\in\operatorname{Mod}_R

에 대하여, 수반 함자의 성질로 인하여 단위원 사상

:

\eta_M\colon M\to G(\operatorname{Sym}(M))

이 존재하며, 또한 임의의

A\in\operatorname{CAlg}_R

에 대하여, 수반 함자의 성질로 인하여 쌍대 단위원 사상

:

\epsilon_A\colon \operatorname{Sym}(G(A))\to A

이 존재한다.

가환 환 위의 가군 가 주어지면, 대칭 대수 는 다음 보편 성질에 의해 정의될 수 있다.

::모든 -선형 사상 가 에서 가환 -대수 로의 사상에 대해,

f=g\circ i,

를 만족하는 고유한 -대수 준동형 사상

g:S(V)\to A

가 존재하며, 여기서 는 를 에 포함시키는 사상이다.

모든 보편 성질과 마찬가지로, 일단 해가 존재하면, 이는 대칭 대수를 표준 동형 사상까지 고유하게 정의한다. 따라서 대칭 대수의 모든 성질은 보편 성질로부터 유추될 수 있다.

대칭 대수는 -가군의 범주에서 -가환 대수의 범주로 가는 함자이다. 보편 성질은 모든 가군 준동형 사상

f:V\to W

가 대수 준동형 사상

S(f):S(V)\to S(W)

로 고유하게 확장될 수 있음을 의미하기 때문이다.

보편 성질은 대칭 대수가 가환 대수를 기반 가군으로 보내는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자라고 말함으로써 재구성할 수 있다. 벡터 공간 위의 대칭 대수는 가환 단위원 결합 대수(이하, 가환 다원환이라고 한다)의 범주에서 Free object|자유 대상^영어이다.

엄밀히 말하면, 사상 ''S''는 벡터 공간 ''V''를 그 대칭 대수 ''S''(''V'')로 사상하는, ''K'' 위의 선형 공간의 범주에서 ''K'' 위의 가환 다원환의 범주로의 함자이며, 대칭 대수가 "자유 대상"이라는 것은, 그 함자가 가환 다원환을 그 밑받침이 되는 벡터 공간으로 사상하는 Forgetful functor|망각 함자^영어의 왼쪽 수반이라는 것을 의미한다.

수반의 단위원은 벡터 공간을 그 대칭 대수로 매립하는 사상 ''V'' → ''S''(''V'')이다.

2. 2. 구체적 구성

가환환

R

와

R

-가군

M

이 주어졌을 때,

M

으로 생성된 '''대칭 대수'''

\operatorname{Sym}(M;R)

는

R

위의 가환 등급 대수이다. 대칭 대수는 다음과 같이 구성할 수 있다.

M

으로 생성된 텐서 대수

:

\operatorname T(M;R)=\bigoplus_{i=0}^\infty M^{\otimes i}=\bigoplus_{i=0}^\infty \overbrace{M\otimes_RM\otimes_R\dotsb\otimes_RM}^i=\bigoplus_{i=0}^\infty\operatorname T^i(M;R)

는

R

위의 자연수 등급 대수이다. 여기서 다음과 같은

\operatorname T(M;R)

의 양쪽 아이디얼을 고려한다.

:

\mathfrak S(M;R)=\operatorname{Span}_R\left\{\operatorname T(M;R)\otimes_R(u\otimes_Rv-v\otimes_Ru)\otimes_R\operatorname T(M;R)\colon u,v\in M\right\}

이는 등급을 보존하며, 이에 대한 몫 등급 대수는 다음과 같다.

:

\operatorname{Sym}(M;R)=\frac{\operatorname T(M;R)}{\mathfrak S(M;R)}=\bigoplus_{i=0}^\infty\operatorname{Sym}^i(M;R)

이를

M

으로 생성된 '''대칭 대수'''라고 한다.^[1] 이는

R

위의 자연수 등급 대수이며, 가환환이다. 즉, 텐서 대수에서 교환자

v\otimes w - w\otimes v

에 의해 생성된 양쪽 아이디얼로 나눈 몫 대수로 정의된다.

대칭 대수의 낮은 등급 성분은 다음과 같다.

:

\operatorname{Sym}^0(M;R)\cong\operatorname T^0(M;R)\cong R

:

\operatorname{Sym}^1(M;R)\cong\operatorname T^1(M;R)\cong M

특히, 가군

M

의 쌍대 가군

M^\vee

의 대칭 대수는

:

\operatorname{Sym}(M^\vee;R)=R[M]

으로 표기되며,

M

위의 '''다항식환'''이라고 한다. 만약

:

M=\bigoplus_{i=1}^kR

가 유한 생성 자유 가군일 때,

M

에 기저

x_1,x_2,\dots,x_k\in M

를 부여하여

:

R[x_1,x_2,\dots,x_k]

라고 표기한다.

만약

V

가 자유 가군이 아니라면,

V=L/M

(

L

은 자유 가군,

M

은

L

의 부분 가군)으로 쓸 수 있다. 이 경우, 다음과 같다.

:

S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle,

여기서

\langle M\rangle

는

M

에 의해 생성된 아이디얼이다.

대칭 대수

S(V)

는

V

의 기저 벡터를 부정원(不定元)으로 하는

K

위의 다항식 환과 동일하다.

2. 3. 보편 포락 대수를 통한 정의

대칭 대수

\operatorname{Sym}(M;R)

는 아벨 리 대수의 보편 포락 대수로도 볼 수 있다. 구체적으로,

R

위의 가군

M

에 자명한 리 괄호

:

[u,v]=0\qquad\forall u,v\in M

를 부여하면, 이는

R

위의 아벨 리 대수를 이룬다. 그 위의 보편 포락 대수

:

\operatorname U(M;R)=\operatorname{Sym}(M;R)

는 자연스럽게

R

-결합 대수인데, 이를 '''대칭 대수'''라고 한다. 모든 리 괄호가 0이므로 이는 사실 가환 결합 대수이며, 추가로 자연수 등급을 보존한다.

특히, 대칭 대수는 보편 포락 대수의 일종이므로 자연스럽게 호프 대수의 구조를 갖는다.

2. 4. 다항식을 통한 정의

가군

M

이 유한 생성 자유 가군일 때,

\operatorname{Sym}(M;R)

는

M

의 기저를 변수로 하는 다항식환으로 정의될 수 있다.

만약

M=R

일 경우 (또는 보다 일반적으로,

M

이 유한 생성 자유 가군일 경우),

\operatorname{Sym}(M;R)

는 다음과 같이 다항식을 통해 정의할 수 있다.

구체적으로,

R

계수의, 변수

x

에 대한 다항식

:

p(x)=r_0+r_1x+r_2x^2+\cdots+r_kx^k\qquad(r_0,r_1,\dots,r_k\in R)

들의 집합

R[x]

를 생각한다. 이 합은 유한 개의 항만을 갖는다. 즉, 다항식의 차수가 유한하여야 한다. 다항식의 '''차수'''

:

\deg p=\max\{i\in\mathbb N\colon p_i\ne0\}

를 정의할 수 있다.

이제, 다항식들의 형식적인 합과 곱을 자연스럽게 정의할 수 있다.

:

p(x)+q(x)=\sum_{i=0}^{\max\{\deg p,\deg q\}}(p_i+q_i)x^i

:

p(x)q(x)=\sum_{i=0}^{\deg p}\sum_{j=0}^{\deg q}p_iq_jx^{i+j}

여기서

n

을 다항식

p

의 '''차수'''라고 하고,

\deg p

로 표기한다.

이 경우,

R[x]

는 자연스럽게 1차원 자유 가군

R

위의 대칭 대수이다.

보다 일반적으로,

n

차원 자유 가군 위의 대칭 대수

\operatorname{Sym}(R^{\oplus n};R)

의 경우, 형식적 변수(=자유 가군의 기저)

x_1,x_2,\dots,x_n

을 도입하여, 이들에 대한 다항식의 공간으로 나타낼 수 있다.

3. 성질

대칭 대수는 등급 대수로서 다음과 같은 직합 분해를 갖는다.^[1]

: $S(V)=\bigoplus_{k=0}^{\infty} S^k(V)$

여기서 $S^k(V)$ 는 $V$ 의 벡터로 이루어진 차수 $k$ 의 단항식의 선형 결합 전체로 이루어진다. $S^0(V) = K$ , $S^1(V)=V$ 로 정의한다. $K$ -선형 공간 $S^k(V)$ 를 $V$ 의 $k$ -차 대칭 멱(symmetric power)이라고 부르며, $k = 2$ 일 때는 '''대칭 제곱'''이라고 부르고, Sym|Sym|Sym^영어²(''V'')로 표기한다.^[1] $k$ -차 대칭 멱은 $V^k$ 위의 Symmetric function|대칭 함수|대칭 함수^영어 이중 선형 연산자에 관한 보편성을 가진다.^[1]

3. 1. 등급 대수

대칭 대수는 등급 대수이다. 즉, 다음과 같은 직합으로 나타낼 수 있다.

:

S(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty S^n(V),

여기서

S^n(V)

는

V

의

n

번째 대칭 거듭제곱이며,

V

의

n

개 요소의 곱으로 생성된 벡터 부분 공간 또는 부분 모듈이다. 예를 들어, 두 번째 대칭 거듭제곱

S^2(V)

는

V

의 '''대칭 제곱'''이라고도 한다.

이러한 등급은 텐서 대수 구성을 통해 얻을 수 있는데, 텐서 대수는 등급이 매겨져 있고, 대칭 대수는 동차 아이디얼로 나눈 몫이기 때문이다. 이 아이디얼은 모든

x \otimes y - y \otimes x

에 의해 생성되며, 여기서

x

와

y

는

V

에 속하며 차수가 1인 동차이다.

벡터 공간 또는 자유 가군의 경우, 등급은 총 차수에 따른 다항식의 등급과 같다. 비자유 가군은

L/M

으로 쓸 수 있으며, 여기서

L

은 기저

B

를 갖는 자유 가군이다. 그 대칭 대수는

L

의 (등급이 매겨진) 대칭 대수(다항식 링)를 차수가 1인 동차인

M

의 원소에 의해 생성된 동차 아이디얼로 나눈 몫이다.

또한

S^n(V)

를 벡터 공간 또는 가군으로의

n

-선형 대칭 함수에 대한 보편 문제의 해로 정의할 수 있으며, 그런 다음 모든

S^n(V)

의 직합이 대칭 대수에 대한 보편 문제를 만족하는지 확인할 수 있다.

다항식 환과 마찬가지로, 대칭 대수

S(V)

의 차수 붙은 대수로서의 직합 분해가 존재한다.^[1]

:

S(V)=\bigoplus_{k=0}^{\infty} S^k(V)

여기서 각

S^k(V)

는

V

의 벡터로 이루어진 차수

k

의 단항식의 선형 결합 전체로 이루어진다(단,

S^0(V) = K

,

S^1(V) = V

로 한다).^[1]

K

-선형 공간

S^k(V)

를

V

의

k

-'''차 대칭 멱'''(symmetric power)이라고 부른다. 예를 들어

k = 2

일 때는 '''대칭 제곱'''이라고 부르며,

Sym^2(V)

로 표기한다.^[1]

k

-차 대칭 멱은

V^k

위의 Symmetric function|대칭|대칭 함수^영어 이중 선형 연산자에 관한 보편성을 가진다.^[1]

3. 2. 직합 분해

두 R-가군의 직합의 대칭 대수는 각 가군의 대칭 대수의 텐서곱으로 표현될 수 있다.

임의의 두 R-가군 M, N에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]

:

\operatorname{Sym}(N\otimes_R\operatorname{Sym}(M;R);\operatorname{Sym}(M;R))\cong\operatorname{Sym}(M\oplus N;R)

특히, 임의의 가환환 R에 대하여 다음이 성립한다.^[1]

:

R[x,y]\cong R[x][y]

3. 3. 가군론적 성질

M=R^{\oplus d}

이 유한 생성 자유 가군이라고 하자. 그렇다면,

\operatorname{Sym}(M;R)

역시

R

-자유 가군이며, 각 등급의 차원은 이항 계수로 주어진다.

:

\dim_R\operatorname{Sym}^i(R^{\oplus d};R)=\binom{d+i-1}i

다만,

\operatorname{Sym}(M;R)

자체는 (무한 차원 자유 가군이므로) 유한 생성 가군이 아니다.

다항식환을 이용하여 대칭 대수

S(V)

를 구성할 수도 있다.

만약

V

가

K

-벡터 공간이거나 자유

K

-가군이고, 기저

B

를 가진다면,

K[B]

를

B

의 원소를 미지수로 가지는 다항식환이라고 하자. 차수가 1인 동차 다항식은

V

와 동일시될 수 있는 벡터 공간 또는 자유 가군을 형성한다.

K[B]

와

S(V)

가 표준적으로 동형이라는 것은 범주론의 일반적인 이론에서 유도된다.

만약

V

가 자유 가군이 아니라면,

V=L/M

으로 쓸 수 있는데, 여기서

L

은 자유 가군이고,

M

은

L

의 부분 가군이다. 이 경우, 다음과 같다.

:

S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle

여기서

\langle M\rangle

는

M

에 의해 생성된 아이디얼이다.

다항식 환과 마찬가지로, 대칭 대수

S(V)

의 차수 붙은 대수로서의 직합 분해가 존재한다.

:

S(V)=\bigoplus_{k=0}^{\infty} S^k(V)

여기서 각

S^k(V)

는

V

의 벡터로 이루어진 차수

k

의 단항식의 선형 결합 전체로 이루어진다(단,

S^0(V) = K

,

S^1(V)=V

로 한다).

K

-선형 공간

S^k(V)

를

V

의

k

-'''차 대칭 멱'''(symmetric power)이라고 부른다. 예를 들어

k = 2

일 때는 '''대칭 제곱'''이라고 부르며,

\operatorname{Sym}^2(V)

로 표기한다.

3. 4. 환론적 성질

가환환

R

에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]

만약 $R$ 가 유일 인수 분해 정역이라면, $R[x]$ 역시 유일 인수 분해 정역이다.^[1]
만약 $R$ 가 뇌터 환이라면, $R[x]$ 역시 뇌터 환이다.^[1]
만약 $R$ 가 체라면, $R[x]$ 는 유클리드 정역이다.^[1]

3. 5. 대칭 텐서와의 관계

텐서 대수를 사용하여 대칭 대수를 설명할 수 있다. 대칭 대수는 교환자

v\otimes w - w\otimes v

에 의해 생성된 텐서 대수의 양쪽 아이디얼에 의한 몫 대수로 정의된다.

벡터 공간의 대칭 대수는 텐서 대수의 몫이므로, 대칭 대수의 원소는 텐서가 아니며, 특히 대칭 텐서도 아니다. 그러나 대칭 텐서는 대칭 대수와 밀접한 관련이 있다.

차수 n의 ''대칭 텐서''는 대칭군

\mathcal S_n

의 작용에 불변인 텐서 대수의 원소이다. 대칭 텐서는 이러한 모든 자기 사상에 불변인 텐서이다. 차수 n의 대칭 텐서는 직접합

\textstyle \bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname{Sym}^n(V)

의 차수 벡터 공간인 벡터 부분 공간을 형성한다. ''대칭 텐서''는 대칭 텐서 두 개의 텐서 곱이 일반적으로 대칭이 아니므로 대수가 아니다.

\pi_n

을 정규 전사 사상

T^n(V)\to S^n(V)

의 대칭 텐서 공간으로의 제한이라고 하자. 만약

n!

이 기본 체 (또는 환)에서 가역적이면,

\pi_n

은 동형 사상이다. 이것은 항상 표수가 0인 기본 체의 경우이다. 역 동형 사상은 대칭화에 의해 (n개의 벡터의 곱에 대해) 정의된 선형 사상이다.

:

v_1\cdots v_n \mapsto \frac 1{n!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}.

표수가 0인 체에서 대칭 텐서와 대칭 대수는 두 개의 동형 차수 벡터 공간을 형성한다. 따라서 벡터 공간 구조에 대해서만 관련이 있는 한 동일시될 수 있지만 곱이 관련된 경우에는 동일시될 수 없다. 또한 이 동형 사상은 유리수를 포함하지 않는 양의 표수의 체 및 환의 경우로 확장되지 않는다.

대칭 대수와 대칭 텐서 공간은 혼동하기 쉽지만, 대칭 대수는 텐서 대수의 몫 다항식환인 반면 대칭 텐서 공간은 텐서 대수의 부분 선형 공간이다.

대칭 텐서는 텐서 대수에 대한 대칭군의 자연스러운 작용에 관한 불변원으로 정의되며, 대칭군은 대칭 텐서의 공간에 자명하게 작용한다. 주의해야 할 점은, 대칭 텐서 공간이 텐서곱 아래에서 텐서 대수의 부분 다항식환이 '''되지 않는다'''는 것이다. 실제로, ''V''의 원소 ''v'', ''w''는 자연스럽게 대칭 1-텐서가 되지만, 그들의 텐서곱 ''v'' ⊗ ''w''는 대칭 2-텐서가 아니다.

표수가 0인 경우, 대칭 텐서 공간과 대칭 대수는 동일시할 수 있다. 우선, 임의의 표수에서, 대칭 대수에서 대칭 텐서 공간으로의 Symmetrization|대칭화 작용소^영어가

:

v_1\cdots v_k \mapsto\sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma(k)}

로 주어진다. 대칭 텐서 공간의 텐서 대수로의 매립과 대칭 대수로의 몫 사영과의 합성은, ''k''-차 성분상에서 ''k''!-배하는 변환이 된다. 따라서 표수가 0일 때, 대칭화 작용소는 대칭 텐서 공간에서 대칭 대수로의 등급 선형 공간으로서의 동형이며, 이 동형을 통해 대칭 텐서를 대칭 대수의 원소와 동일시할 수 있다. 또는 이 대칭화 작용소를 ''k''!로 나누어,

:

v_1\cdots v_k \mapsto \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma(k)}

가 되는 몫 사상의 Section (category theory)|절단^영어으로 만들 수도 있다. 예를 들어 두 개의 대칭 텐서의 곱(대칭곱)은

:

vw \mapsto \frac{1}{2}(v\otimes w + w \otimes v)

가 되는 대응으로 주어진다.

4. 응용

대칭 대수는 값매김, 아핀 공간의 대칭 대수, 외대수와의 유사성 등 다양한 분야에 응용된다.

'''값매김''': 가환환 $R$ 위의 가군 $M$ 의 대칭 대수 $\operatorname{Sym}(M;R)$ 위의 값매김은 $R$ -가군 준동형이다.^[1] 이는 다항식의 변수에 값을 치환하는 것이다. 예를 들어 $R[x]$ 에서 다항식 $p(x)=r_0+r_1x+r_2x^2+\dotsb+r_kx^k\in R[x]$ 및 $s\in R$ 가 주어졌을 때, $\operatorname{eval}(p\otimes_Rs)=r_0+r_1s+r_2s^2+\dotsb+r_ks^k\in R$ 와 같이 계산된다.
'''아핀 공간의 대칭 대수''': 아핀 공간 위에도 대칭 대수를 구성할 수 있다. 아핀 공간의 대칭 대수는 등급 대수가 아니라 여과 대수라는 점이 중요하다. 아핀 공간에서 다항식의 차수를 결정할 수는 있지만, 동차 부분은 결정할 수 없다.
'''외대수와의 유사성''': $S^k$ 는 함자이며 외대수와 유사한 성질을 가진다. 차원은 $k$ 에 따라 증가하며, $\operatorname{dim}(S^k(V)) = \binom{n+k-1}{k}$ 로 주어진다. 여기서 $n$ 은 $V$ 의 차원이며, 이 이항 계수는 차수가 $k$ 인 $n$ 변수 단항식의 개수이다.
'''호프 대수 및 보편 포락 대수''': 대칭 대수는 호프 대수 구조를 가지며, 아벨 리 대수의 보편 포락 대수로 볼 수 있다.

4. 1. 값매김

가환환

R

위의 가군

M

의 대칭 대수

\operatorname{Sym}(M;R)

위의 '''값매김'''(evaluation^영어)은 다음과 같은

R

-가군 준동형이다.^[1]

:

\operatorname{eval}\colon\operatorname{Sym}(M)\otimes_RM^\vee\to R

:

\operatorname{eval}\colon m_1\otimes_Rm_2\otimes_R\cdots\otimes_Rm_k\otimes_R \phi\mapsto \phi(m_1)\phi(m_2)\dotsm\phi(m_k)

여기서

M^\vee=\hom_R(M,R)

는

M

의 쌍대 가군이다.

임의의

\phi\in M^\vee

에 대하여,

:

\operatorname{eval}(-\otimes_R\phi)\colon\operatorname{Sym}(M)\to R

:

\operatorname{eval}(-\otimes_R\phi)\colon S\mapsto \operatorname{eval}(S\otimes_R\phi)

는

R

-대칭 대수의 준동형을 이룬다.^[1]

특히, 임의의 가군

M

은 스스로의 이중 쌍대 가군으로의 자연스러운 가군 준동형

:

\iota\colon M\to M^{\vee\vee}

:

\iota m\colon \phi\mapsto\phi(m)

을 갖는다. 이에 따라, 쌍대 가군 위의 대칭 대수

\operatorname{Sym}(M^\vee;R)=R[M]

위에 다음과 같은 값매김을 정의할 수 있다.^[1]

:

R[M]\otimes_RM\to R

:

p\otimes_Rm\mapsto \operatorname{eval}(p\otimes_R\iota(m))

이는 다항식의 변수에 값을 치환하는 것이다. 예를 들어,

R[x]

에서 다항식

:

p(x)=r_0+r_1x+r_2x^2+\dotsb+r_kx^k\in R[x]

및

s\in R

가 주어졌을 때,

:

\operatorname{eval}(p\otimes_Rs)=r_0+r_1s+r_2s^2+\dotsb+r_ks^k\in R

이다.

벡터 공간 ''V''가 주어졌을 때, ''V'' 위의 다항식 함수의 전체는 대칭 대수의 "쌍대" 공간 ''S''(''V''^∗)이며, ''V'' 위에서 정의되는 다항식 함수의 ''V''의 벡터에서의 값의 "평가"는 내적 pairing^영어 ''S''(''V''^∗) × ''V'' → ''K''를 통해 주어진다.^[1]

예를 들어, 평면 ''K''²와 그 기저가 주어졌을 때, ''K''² 위의 (제차) 일차 다항식 함수의 전체는 ''x'', ''y''로 생성된다. 이들 좌표 범함수는, 예를 들어

:

x(2,3) = 2, y(2,3)=3

처럼 벡터가 주어지면 그 각 좌표를 값으로 반환하는 여벡터 (쌍대 벡터)이다. 고차 단항식은 다양한 대칭 멱의 원소이며, 일반적인 다항식은 대칭 대수의 원소가 된다. 벡터 공간에 기저를 정하지 않는 경우에도 마찬가지지만, 그 경우 얻어지는 것은 기저를 정하지 않은 다항식 환이다.^[1]

4. 2. 아핀 공간의 대칭 대수

유사하게, 아핀 공간 위에 대칭 대수를 구성할 수 있다. 중요한 차이점은 아핀 공간의 대칭 대수가 등급 대수가 아니라 여과 대수라는 것이다. 아핀 공간에서 다항식의 차수를 결정할 수 있지만, 동차 부분은 결정할 수 없다.

예를 들어, 벡터 공간에서 선형 다항식이 주어지면, 0에서 평가하여 상수 부분을 결정할 수 있다. 아핀 공간에는 특별한 점이 없으므로 이를 수행할 수 없다 (점을 선택하면 아핀 공간이 벡터 공간으로 변환된다).

벡터 공간 위의 대칭 대수와 마찬가지로, 아핀 공간(또는 그 위의 다항식 공간에 대응하는 쌍대 공간)으로부터 대칭 대수를 구성할 수 있다. 근본적으로 다른 점은 아핀 공간 위의 대칭 대수가 차수 부여 다원환이 되지 않는다는 것이지만, Filtered algebra|여과 다원환^영어이 되므로, 제차 부분을 결정할 수 없더라도 아핀 공간 위의 다항식의 차수를 결정할 수 있다는 것이다.

예를 들어, 벡터 공간 위의 일차 다항식 함수가 주어졌을 때, 그 상수항은 0에서의 값으로 얻어진다. 한편, 아핀 공간에서는 그러한 특별한 점이 정해져 있지 않으므로, 같은 일을 할 수 없다 (특정 점을 선택하면 아핀 공간은 벡터 공간이 된다).

4. 3. 외대수와의 유사성

''S''^''k''는 함자이며 외대수와 유사한 성질을 가진다. 차원은 ''k''에 따라 증가하며, 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{dim}(S^k(V)) = \binom{n+k-1}{k}

여기서 ''n''은 ''V''의 차원이다. 이 이항 계수는 차수가 ''k''인 ''n'' 변수 단항식의 개수이다.

대칭 대수와 외대수는

S_n

의 작용에 대한 사소 표현과 부호 표현의 등형 성분으로 나타난다. 이는

V^{\otimes n}

의 텐서 곱에 작용한다(예: 복소수 체 위에서).

4. 4. 호프 대수 및 보편 포락 대수

대칭 대수는 호프 대수 구조를 가지며, 아벨 리 대수의 보편 포락 대수로 볼 수 있다.

가환환

R

위의 가군

M

에 자명한 리 괄호를 부여하면 이는

R

위의 아벨 리 대수를 이룬다. 그 위의 보편 포락 대수는 자연스럽게

R

-결합 대수가 되는데, 이를 '''대칭 대수'''라고 한다. 모든 리 괄호가 0이므로 이는 사실 가환 결합 대수이며, 추가로 자연수 등급을 보존한다.

5. 한국의 관점

한국에서는 추상대수학, 표현론, 대수기하학 등 다양한 수학 분야에서 대칭 대수가 연구되고 있다. 특히, 대칭 대수는 암호학, 코딩 이론, 양자 정보 이론 등 정보 과학 분야에서 중요한 역할을 한다. 한국의 여러 대학 및 연구소에서 대칭 대수와 관련된 연구가 활발히 진행되고 있으며, 국제적인 협력도 이루어지고 있다.

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